이달의 과학기술자상 9월 수상자 고등과학원 금종해 교수 선정
금 교수는 과학기술부와 한국과학재단의 지원을 받는 특정기초연구사업 과제 수행으로 대수기하학 분야의 20년 동안 중요문제인 ‘유한 표수체 위에서 정의된 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류’ 문제를 해결하는 데 성공하였다.
대수기하학이란 도형의 생김새를 연구하는 기하학 중에서 변수가 여러 개인 방정식들로 정의되는 도형의 성질을 연구하는 분야이다.
1985년 미국 수학회 하계연구소에서 일본 나고야대학의 S. Mukai 교수(現 경도대학 수리해석연구소 교수)가 ‘복소수체 위에서 정의된 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류’ 문제를 해결하였다고 발표하였다. (이 논문은 1988년 저명학술지 Inventiones Mathematicae지에 게재됨). 그 직후, 유한 표수체 위에서 정의된 K3곡면의 경우에도 사교 유한대칭군의 분류가 가능한가라는 문제가 Mukai 교수 자신을 포함한 Nikulin 교수, Shioda 교수 등 저명 수학자들의 주요관심이 되었다.
그러나 유한 표수체 위에서는 여러 특이 현상들과 반례가 많이 나타나 이 문제의 해결은 매우 어려울 것으로 여겨져 왔다. 금 교수는 미국 미시간대학의 I. Dolgachev 교수와 공동으로 과거 10년의 연구를 통해 새로운 연구방법을 개발하여 이 문제를 해결하였다.
금 교수는 이 연구결과를 2003년 말 논문으로 완성하였으며 영국, 독일, 일본, 미국, 싱가포르, 대만의 여러 유명 대학 및 국제학회의 초청강연을 통해 검증을 거친 후, 최종 수정본이 수학분야 최고 학술지인 Annals of Mathematics지에 2006년 1월에 게재되었다.
국내 연구자가 Annals of Mathematics지에 논문을 게재하게 되었다는 점은 국내 수학 연구수준을 한 단계 향상된 것으로 판단된다. Mukai 교수의 정리가 발표된 후 복소 K3 곡면의 유한대칭군에 관한 다양한 연구가 관련학자들 사이에 이루어져 왔으며 유한 표수체에서 금 교수의 연구결과로 인하여 앞으로 많은 후속 연구들이 진행될 것으로 기대된다.
1. 대수기하학(Algebraic Geometry) : 도형의 생김새를 연구하는 기하학 중에서 변수가 여럿인 방정식들로 정의되는 도형의 성질을 연구하는 분야이다. 방정식으로 정의된 도형의 간단한 예는 직선, 포물선, 쌍곡선, 원 등이다.
2. 체(field) : 실수 전체의 집합과 같이 사칙연산이 가능한 (0으로 나누는 것은 금지함) 집합을 체라 한다. 실수 전체로 이루어진 실수체, 유리수 전체로 이루어진 유리수체, 복소수 전체로 이루어진 복소수체 등은 중고생들에게 익숙하다. 수학자들은 정수론과 복소기하학을 연결할 목적으로 인위적으로 유한표수체(field of finite characteristic)를 만들었다. 표수(characteristic)는 항상 소수(素數)이어야만 되는데 표수가 p인 유한표수체에서는 임의의 수를 p번 더하면 0이 된다. 매우 추상적인 대상이지만 현실적으로도 놀랍도록 유용하다. 실제로, 유한표수체의 일종으로 간단한 형태인 유한체(finite field)는 전자상거래, 컴퓨터 통신 등에서 쓰이는 코드와 암호 체계를 만드는데 사용된다.
3. 방정식으로 정의된 도형 : 원은 두 변수 x, y 에 관한 이차식으로 정의된다. 엄밀히 말하면 그 방정식이 실수체 위에서 정의하는 도형이 원이다. 똑같은 방정식이 복소수체 위에서는 2차원 곡면(공과 같은 구면에서 두 점을 뺀 모양)을 정의한다. 동일한 방정식이 체에 따라 달리 정의하는 도형의 기하학 사이에 밀접한 관계가 있다고 추정한다.
4. K3 곡면 : 다양한 방정식으로 정의될 수 있으나, 간단한 예로, 네 변수 x, y, z, w 에 관한 4차식으로 정의된 사영곡면이다. 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면은 4차원 공간의 분류이론에 핵심적으로 쓰이는 기본도형이다. K3 곡면이란 이름은 19세기 후반과 20세기에 활약했고 이러한 곡면을 연구했던 3명의 저명수학자 Kummer, Kaehler, Kodaira의 머릿글자가 모두 K라는 이유로 A. Weil 교수가 그렇게 명명하였다. (다른 이유는 캐시미르 지역의 명산 K2 봉)
5. 대칭군 : 도형 중에는 많은 대칭성을 갖는 것들이 있다. 원의 경우, 회전이동과 대칭이동에 의해 도형이 변하지 않는다. 이러한 이동을 원에서 원으로 가는 함수로 이해하면 각 이동은 전단사함수이며 따라서 역함수가 있고 두 이동의 합성함수는 또 하나의 이동이 된다. 이러한 이동 전체의 집합을 대칭군(symmetry group)이라 한다. 원의 대칭군은 원소의 수가 무한인 무한군, 정삼각형의 대칭군은 원소의 수가 6인 유한군이다. Rubik 큐브의 대칭군은 유한군인데, Rubik 큐브의 색깔을 맞추어 원래의 모습으로 되돌릴 수 있는 이유는 대칭군 안에서 항상 역원을 찾을 수 있기 때문이다.
5. 사교 유한대칭군 : K3 곡면은 정의하는 방정식에 따라 그 대칭군이 매우 다양하게 나타날 수 있는데, 그 중 유한대칭군을 분류하려면 우선 사교 유한대칭군을 분류해야한다. 사교대칭군은 K3 곡면의 사교(symplectic) 구조를 보존한다.
수상자 이력사항
금 종 해 (琴 鍾 海)
소속기관 : 고등과학원(KIAS) 수학부
학 력
1980. 2 서울대학교 자연과학대학 수학과 (학사)
1988. 8 University of Michigan 수학과 (박사)
경 력
1988 ~ 1991 University of Utah 수학과 조교수
1991 ~ 1995 건국대 사범대 수학교육과 조교수/부교수
1995 ~ 2000 건국대 이과대 수학과 학과장, 부교수/교수
2000 ~ 현재 고등과학원(KIAS) 수학부 교수
2005 ~ 현재 고등과학원(KIAS) 수학부장 겸 교수부장
1993 미국 수리과학연구소(MSRI) Fellow
1996 ~ 1997 University of Michigan 초빙교수
1998 Nagoya University, 일본학술진흥회(JSPS) Fellow
2000 Univ. of Warwick, 영국 Royal Society Fellow
2000 Univ. of Singapore, 싱가폴 Sprint Program Fellow
2004 Hokkaido University, COE Fellow
수상경력
1997.12.11. 제1회 건국학술대상 (건국대학교 총동문회)
1998. 5.19. 제8회 과학기술우수논문상 (한국과학기술단체총연합회)
기 타
2006. 3. ‘수학계의 20년 난제 K3곡면 문제 해결’ (Science Times에 보도)
2000 Marquis Who's Who 출판사 간행 세계인명사전 ‘Who's Who in the World’ 에 프로필 등재
수상업적 : K3 곡면의 유한대칭군의 분류 성공
□ 업적요지
1980년대 중반 당시 일본 나고야대학의 S. Mukai 교수(現 경도대학 수리해석연구소 교수)가 복소 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류 문제를 해결한 후 곧 바로, 여러 저명 수학자들에 의해 유한표수체 위에서 정의된 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류 문제가 제기되었다. 그러나 유한표수체 위에서는 여러 특이 현상들과 반례가 많이 나타나고 핵심이론들이 결핍되어 이 문제의 해결은 매우 어려울 것으로 여겨져 왔다.
금 교수는 미국 미시간대학의 I. Dolgachev교수와 공동으로 과거 10년의 연구를 통해 새로운 연구방법을 개발하여 이 문제를 해결하였고 그 연구결과 논문을 국내 연구자로는 최초로 Annals of Mathematics에 게재하게 되었다. 이는 국내 수학 연구 수준을 한 단계 업그레이드한 것으로 판단된다.
그의 연구는 K3 곡면을 포함 대수곡면 전반에 걸쳐있고 이 분야 국제 전문가로 인정받고 있다. 이러한 업적으로 금 교수는 영국의 Cambridge 대학, 독일의 Goettingen 대학, 일본 동경대를 포함 미국, 대만, 싱가폴, 중국의 여러 대학의 초청강연과 일본 대수기하학회 등 여러 국제학회에 초청강연으로 이어지고 있다.
□ 업적내용
금교수의 대표연구개발 업적은 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면에 관하여 알려진 기존의 여러 연구 결과들을 유한표수체(field of finite characteristic)의 경우로 확장한 것이다.
우리가 흔히 K3 곡면이라 부르는 것은 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면을 뜻한다. 즉, 단순연결이고 2차 미분형식 번들이 자명한 복소 2차원 다양체이다. 이러한 곡면의 연구에 있어서 가장 강력한 수단은 바로 1970년대에 소련의 Piatetskii-Shapiro 교수와 Shafarevich 교수가 증명한 토렐리 정리이다. 이 정리에 의하면 K3 곡면은 그 호지(Hodge)구조에 의해 완전히 결정된다는 것인데, 두 K3 곡면이 서로 동형이라는 것과 두 곡면의 2차 코호몰로지군 사이에 호지구조를 보존하는 직교 선형사상이 존재한다는 것이 동치라는 것이다. 이 정리 덕분에 K3 곡면에 관한 연구는 격자이론(lattice theory)에 다름 아니게 되었고, 이러한 기하적 용도에 유용한 격자이론을 V. Nikulin 교수가 심도 있게 발전시킨 바 있다. 주어진 K3 곡면 X의 자기동형사상군(대칭군) Aut(X)는 X의 2차 대역 미분형식공간에 작용하고 이 공간이 복소 1차원이므로 하나의 character를 정의한다. 이 cahracter의 가능한 위수는 모두 알려져 있다. X의 자기동형사상 g의 character 값이 1이 되면 g를 사교적(symplectic)이라고 하는데, 이는 g가 X의 2차 대역 미분형식을 보존하기 때문이다. (2차 대역 미분형식은 X에 사교 구조를 주기 때문에 2차 대역 미분형식을 보존한다함은 사교 구조를 보존한다함과 같다.)
적당한 K3 곡면에 사교적으로 작용하는 유한 가환군들을 분류하는 문제는 Nikulin 교수에 의해 완벽히 해결되었다. 그 후 S. Mukai 교수(現 경도대학 수리해석연구소 교수)는 가환군이라는 조건 없이 니쿨린 교수의 결과를 아래와 같이 일반화하였다.
정리(S. Mukai, 1988 Inventiones Mathematicae) : G를 Aut(X)의 사교 유한부분군이라 하자. 그러면 G는 특정한 11 가지의 군의 부분군이다. 이 11 개의 군들은 모두 간헐 단순군의 일종인 Mathieu 군 M(23)의 부분군이다. (편의상 이 군들을 Mukai 군이라 부른다. M(23)는 24개의 원소를 갖는 집합에 순열로서 작용하는데 Mukai 군들은 M(23)의 부분군들 중 5개 이상의 orbit들을 갖는 부분군들로 특징지어진다.)
S. Mukai 교수가 1985년 미국 수학회 하계연구소에서 위 정리의 증명을 발표한 후, 유한표수체 위에서 정의된 K3곡면의 경우에도 유사한 분류가 가능한가라는 문제가 자연스럽게 제기되었다. 물론 위 Mukai 정리가 유한표수체 상에서 그대로 성립하지 않음을 보여주는 반례는 Mukai, Beauville, Tate, Shioda 교수 등 여러 전문가들에 의해 금방 제시되었다.
유한표수체 위에서 정의된 K3곡면의 경우로 확장하려 할 때 발생하는 어려운 점은 이 경우 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면에 대하여 성립하는 토렐리정리가 성립하지 않으며 (따라서 격자이론을 이용할 수 없고), 초특이(supersingular) K3 곡면이 존재하며, 또 wild action이 존재한다는 점 등이다.
금 교수는 미국 미시간대학의 I. Dolgachev교수와 과거 10년에 걸친 공동연구를 통하여, 토렐리정리를 대체할 수 있는 연구수단을 개발하였고, wild action이 어떤 표수 p에 대해서만 존재하는지를 규명하였으며, 이를 이용하여 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면에 사교적으로 작용하는 유한군에 관한 S. Mukai 교수의 결과를 유한표수체의 경우로 확장하는데 성공하였다. 즉, Mukai 군이 아닌 군들 중 어떤 군들이 더 나타나는지 모두 파악하였고, 그 때의 K3 곡면은 특별한 초특이 K3 곡면이 되어야 한다는 점 등을 밝혔으며, 궁극적으로 왜 문제가 어려웠는지도 모두 규명해내었다.
금 교수는 이 연구결과를 2003년 말에 논문으로 완성하였고 국제학회 및 저명 대학들의 초청강연을 통하여 많은 국제 전문가들의 검증을 거친 후, 최종 수정본을 수학분야 최고 학술지인 Annals of Mathematics에 2005년 2월에 제출하여 2006년 1월에 게재확정 통보를 받았다.
Mukai 교수의 정리가 발표된 후 사교 유한대칭군을 포함하는 어떤 유한대칭군이 복소 K3 곡면에 작용하는지에 관한 풍성하고 다양한 연구가 관련학자들 사이에 이루어져 온 것이 사실이다. 따라서, 유한표수체에서의 금 교수의 연구결과도 향후 유사한 많은 후속 연구들을 촉발할 것이다.
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